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2018年長沙市中考數學模擬試題

一、選擇題

1．下列實數中，為無理數的是（）

A．3.14????????????? B．????????????? C．????????????? D．

2．下列計算正確的是（）

A．a2+a2=a4????????????? B．（a2）3=a5????????????? C．2a﹣a=2????????????? D．（ab）2=a2b2

3．長沙磁浮快線2016年5月6日上午載客試運營．這是我國首條完全擁有自主知識產權的中低速磁浮商業(yè)運營鐵路，標志著中國磁浮技術實現了從研發(fā)到應用的全覆蓋，成為世界上少數幾個掌握該項技術的國家之一．該工程總投資42.9億元，則數據42.9億用科學記數法表示為（）

A．42.9×108????????????? B．4.29×108????????????? C．4.29×109????????????? D．4.3×109

4．下列圖案中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

5．下列四個命題中，正確的是（）

A．菱形的對角線相等

B．矩形的對角線互相垂直

C．平行四邊形的每條對角線平分一組對角

D．正方形的對角線互相平分

6．不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

7．2010年3月份，某市市區(qū)一周空氣質量報告中某項污染指數的數據是：31，35，31，34，30，32，31，這組數據的中位數、眾數分別是（）

A．32，31????????????? B．31，32????????????? C．31，31????????????? D．32，35

8．下列說法正確的是 （）

A．為了了解某中學800名學生的視力情況，從中隨機抽取了50名學生進行調查，在此次調查中，樣本容量為50名學生的視力

B．若一個游戲的中獎率是1%，則做100次這樣的游戲一定會中獎

C．了解無錫市每天的流動人口數，采用抽查方式

D．“擲一枚硬幣，正面朝上”是必然事件

9．已知正比例函數y=（m+1）x，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（）

A．m＜﹣1????????????? B．m＞﹣1????????????? C．m≥﹣1????????????? D．m≤﹣1

10．如圖，點C，D在AB同側，∠CAB=∠DBA，下列條件中不能判定△ABD≌△BAC的是（）

A．∠D=∠C????????????? B．BD=AC????????????? C．∠CAD=∠DBC????????????? D．AD=BC

11．在平面直角坐標系中，二次函數y=a（x﹣h）2（a≠0）的圖象可能是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

12．如圖，要在寬為22米的九州大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CD長2米，且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直，當燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳，此時，路燈的燈柱BC高度應該設計為（）

A．（11﹣2）米????????????? B．（11﹣2）米????????????? C．（11﹣2）米????????????? D．（11﹣4）米

二、填空題

13．袋中有4個紅球，x個黃球，從中任摸一個恰為黃球的概率為，則x的值為　?? ?。?/p>

14．如圖，用圓心角為120°，半徑為6cm的扇形紙片卷成一個圓錐形無底紙帽，則這個紙帽的高是　?? 　cm．

15．因式分解：3a2﹣6a+3=　?? ?。?/p>

16．方程﹣=0的解是　?? ?。?/p>

17．如圖△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE=2AD，AE=2，那么EC=　?? ?。?/p>

18．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以點C為圓心，CB為半徑的⊙C與邊AB交于點D．若點D為AB的中點，AB=6，則⊙C的半徑長為　?? ?。?/p>

三、解答題

19．2sin60°+（﹣）﹣1﹣20160﹣|1﹣|

20．先化簡，再求值：÷（+x﹣1），其中x是方程x2+x﹣6=0的根．

21．西寧市教育局自實施新課程改革后，學生的自主學習、合作交流能力有很大提高．張老師為了了解所教班級學生自主學習、合作交流的具體情況，對本班部分學生進行了為期半個月的跟蹤調查，將調查結果分成四類，A：特別好；B：好；C：一般；D：較差；并將調查結果繪制成以下不完整的統(tǒng)計圖，請你根據統(tǒng)計圖解答下列問題：

（1）本次調查中，張老師一共調查了　?? 　名同學；

（2）將上面的條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）為了共同進步，張老師想從被調查的A類和D類學生分別選取一位同學進行“一幫一”互助學習，請用列表法或畫樹形圖的方法列出所有等可能的結果，并求出所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率．

22．如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BD相交于點O，與BC相交于點N，連接BM、DN．

（1）求證：四邊形BMDN是菱形；

（2）若AB=4，AD=8，求菱形BMDN的面積和對角線MN的長．

23．某商場購進甲、乙兩種服裝，每件甲種服裝比每件乙種服裝貴25元，該商場用2000元購進甲種服裝，用750元購進乙種服裝，所購進的甲種服裝的件數是所購進的乙種服裝的件數的2倍．

（1）分別求每件甲種服裝和每件乙種服裝的進價；

（2）若每件甲種服裝售價130元，將購進的兩種服裝全部售出后，使得所獲利潤不少于750元，問每件乙種服裝售價至少是多少元？

24．如圖，⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F，點E是DB延長線上的一點，∠EAB=∠ADB．

（1）求證：EA是⊙O的切線；

（2）已知點B是EF的中點，求證：以A、B、C為頂點的三角形與△AEF相似；

（3）已知AF=4，CF=2．在（2）條件下，求AE的長．

25．對平面直角坐標系中的點P（x，y），定義d=|x|+|y|，我們稱d為P（x，y）的幸福指數．對于函數圖象上任意一點P（x，y），若它的幸福指數d≥1恒成立，則稱此函數為幸福函數，如二次函數y=x2+1就是一個幸福函數，理由如下：設P（x，y）為y=x2+1上任意一點，d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|，∵|x|≥0，|x2+1|=x2+1≥1，∴d≥1．∴y=x2+1是一個幸福函數．

（1）若點P在反比例函數y=的圖象上，且它的幸福指數d=2，請直接寫出所有滿足條件的P點坐標；

（2）一次函數y=﹣x+1是幸福函數嗎？請判斷并說明理由；

（3）若二次函數y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函數，試求出m的取值范圍．

26．如圖，直線y=﹣x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，已知二次函數的圖象經過點A、C和點B（﹣1，0）．

（1）求該二次函數的關系式；

（2）有兩動點D、E同時從點O出發(fā)，其中點D以每秒個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點E以每秒4個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當D、E兩點相遇時，它們都停止運動．設D、E同時從點O出發(fā)t秒時，請問D、E兩點在運動過程中，是否存在DE∥OC，若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下設△ODE的面積為S求S關于t的函數關系式，并直接寫出S的最大值．

2018年長沙中考數學模擬試題參考答案

一、選擇題

1．下列實數中，為無理數的是（）

A．3.14????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】26：無理數．

【分析】根據無理數的定級求解即可．

【解答】解：3.14，，是有理數，

是無理數，

故選：C．

【點評】此題主要考查了無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環(huán)小數為無理數．如π，，0.8080080008…（2017?淮安模擬）下列計算正確的是（）

A．a2+a2=a4????????????? B．（a2）3=a5????????????? C．2a﹣a=2????????????? D．（ab）2=a2b2

【考點】47：冪的乘方與積的乘方；35：合并同類項．

【分析】結合選項分別進行冪的乘方和積的乘方、合并同類項等運算，然后選擇正確選項．

【解答】解：A、a2+a2=2a2，原式錯誤，故本選項錯誤；

B、（a2）3=a6，原式錯誤，故本選項錯誤；

C、2a﹣a=a，原式錯誤，故本選項錯誤；

D、（ab）2=a2b2，原式正確，故本選項正確．

故選D．

【點評】本題考查了冪的乘方和積的乘方、合并同類項等知識，掌握運算法則是解答本題的關鍵．

3．長沙磁浮快線2016年5月6日上午載客試運營．這是我國首條完全擁有自主知識產權的中低速磁浮商業(yè)運營鐵路，標志著中國磁浮技術實現了從研發(fā)到應用的全覆蓋，成為世界上少數幾個掌握該項技術的國家之一．該工程總投資42.9億元，則數據42.9億用科學記數法表示為（）

A．42.9×108????????????? B．4.29×108????????????? C．4.29×109????????????? D．4.3×109

【考點】1I：科學記數法—表示較大的數．

【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．

【解答】解：42.9億用科學記數法表示為4.29×109，

故選：C．

【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．

4．下列圖案中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】R5：中心對稱圖形；P3：軸對稱圖形．

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．

【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故錯誤；

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故錯誤；

C、是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故正確；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故錯誤．

故選C．

【點評】掌握好中心對稱與軸對稱的概念．

判斷軸對稱的關鍵是尋找對稱軸，兩邊圖象折疊后可重合，判斷中心對稱是要尋找對稱中心，旋轉180度后重合．

5．下列四個命題中，正確的是（）

A．菱形的對角線相等

B．矩形的對角線互相垂直

C．平行四邊形的每條對角線平分一組對角

D．正方形的對角線互相平分

【考點】O1：命題與定理．

【分析】分別利用菱形以及矩形和平行四邊形以及正方形對角線的關系求出即可．

【解答】解：A、菱形的對角線互相垂直，故此選項錯誤；

B、矩形的對角線相等，故此選項錯誤；

C、平行四邊形的對角線只互相平分，故此選項錯誤；

D、正方形的對角線互相平分，正確．

故選：D．

【點評】此題主要考查了命題與定理，正確把握特殊四邊形對角線關系是解題關鍵．

6．不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】CB：解一元一次不等式組；C4：在數軸上表示不等式的解集．

【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，在數軸上表示不等式組的解集，即可得出選項．

【解答】解：，

∵解不等式①得：x≥1，

解不等式②得：x＜2，

∴不等式組的解集為：1≤x＜2，

在數軸上表示不等式組的解集為：

，

故選D．

【點評】本題考查了解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式組的解集的應用，能求出不等式組的解集是解此題的關鍵．

7．2010年3月份，某市市區(qū)一周空氣質量報告中某項污染指數的數據是：31，35，31，34，30，32，31，這組數據的中位數、眾數分別是（）

A．32，31????????????? B．31，32????????????? C．31，31????????????? D．32，35

【考點】W5：眾數；W4：中位數．

【分析】利用中位數及眾數的定義確定答案即可．

【解答】解：∵數據31出現了3次，最多，

∴眾數為31，

∵排序后位于中間位置的數是31，

∴中位數是31，

故選C．

【點評】本題屬于基礎題，考查了確定一組數據的中位數、眾數的能力．一些學生往往對這個概念掌握不清楚，計算方法不明確而誤選其它選項．注意找中位數的時候一定要先排好順序，然后再根據奇數和偶數個來確定中位數，如果數據有奇數個，則正中間的數字即為所求．如果是偶數個則找中間兩位數的平均數．

8．下列說法正確的是 （）

A．為了了解某中學800名學生的視力情況，從中隨機抽取了50名學生進行調查，在此次調查中，樣本容量為50名學生的視力

B．若一個游戲的中獎率是1%，則做100次這樣的游戲一定會中獎

C．了解無錫市每天的流動人口數，采用抽查方式

D．“擲一枚硬幣，正面朝上”是必然事件

【考點】V3：總體、個體、樣本、樣本容量；V2：全面調查與抽樣調查；X1：隨機事件；X3：概率的意義．

【分析】根據樣本容量為所抽查對象的數量，抽樣調查，隨機事件，即可解答．

【解答】解：A．為了了解某中學800名學生的視力情況，從中隨機抽取了50名學生進行調查，在此次調查中，樣本容量為50，故錯誤；

B．若一個游戲的中獎率是1%，則做100次這樣的游戲有一次中獎，故錯誤；

C．了解無錫市每天的流動人口數，采用抽查方式，正確；

D．因為一枚硬幣有正反兩面，所以“擲一枚硬幣，正面朝上”是隨機事件，故錯誤；

故選：C．

【點評】本題考查了樣本容量，抽樣調查，隨機事件，解決本題的關鍵是明確相關概念．

9．已知正比例函數y=（m+1）x，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（）

A．m＜﹣1????????????? B．m＞﹣1????????????? C．m≥﹣1????????????? D．m≤﹣1

【考點】F6：正比例函數的性質．

【分析】根據正比例函數圖象與系數的關系列出關于k的不等式k+3＜0，然后解不等式即可．

【解答】解：∵正比例函數 y=（m+1）x中，y的值隨自變量x的值增大而減小，

∴m+1＜0，

解得，m＜﹣1；

故選A．

【點評】本題主要考查正比例函數圖象在坐標平面內的位置與k的關系．解答本題注意理解：直線y=kx所在的位置與k的符號有直接的關系．k＞0時，直線必經過一、三象限，y隨x的增大而增大；k＜0時，直線必經過二、四象限，y隨x的增大而減?。?/p>

10．如圖，點C，D在AB同側，∠CAB=∠DBA，下列條件中不能判定△ABD≌△BAC的是（）

A．∠D=∠C????????????? B．BD=AC????????????? C．∠CAD=∠DBC????????????? D．AD=BC

【考點】KB：全等三角形的判定．

【分析】根據圖形知道隱含條件BC=BC，根據全等三角形的判定定理逐個判斷即可．

【解答】解：A、添加條件∠D=∠C，還有已知條件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABD≌△BAC，故本選項錯誤；

B、添加條件BD=AC，還有已知條件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABD≌△BAC，故本選項錯誤；

C、∵∠CAB=∠DBA，∠CAD=∠DBC，

∴∠DAB=∠CBA，

還有已知條件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABD≌△BAC，故本選項錯誤；

D、添加條件AD=BC，還有已知條件∠CAB=∠DBA，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△BAC，故本選項正確；

故選D．

【點評】本題考查了全等三角形的判定定理的應用，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，符合SSA和AAA不能推出兩三角形全等．

11．在平面直角坐標系中，二次函數y=a（x﹣h）2（a≠0）的圖象可能是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】H2：二次函數的圖象．

【分析】根據二次函數y=a（x﹣h）2（a≠0）的頂點坐標為（h，0），它的頂點坐標在x軸上，即可解答．

【解答】解：二次函數y=a（x﹣h）2（a≠0）的頂點坐標為（h，0），它的頂點坐標在x軸上，

故選：D．

【點評】本題考查了二次函數的圖象，解決本題的關鍵是明二次函數的頂點坐標．

12．如圖，要在寬為22米的九州大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CD長2米，且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直，當燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳，此時，路燈的燈柱BC高度應該設計為（）

A．（11﹣2）米????????????? B．（11﹣2）米????????????? C．（11﹣2）米????????????? D．（11﹣4）米

【考點】T8：解直角三角形的應用．

【分析】出現有直角的四邊形時，應構造相應的直角三角形，利用相似求得PB、PC，再相減即可求得BC長．

【解答】解：如圖，延長OD，BC交于點P．

∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，

∴在直角△CPD中，DP=DC?cot30°=2m，PC=CD÷（sin30°）=4米，

∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，

∴△PDC∽△PBO，

∴=，

∴PB===11米，

∴BC=PB﹣PC=（11﹣4）米．

故選：D．

【點評】本題通過構造相似三角形，綜合考查了相似三角形的性質，直角三角形的性質，銳角三角函數的概念．

二、填空題

13．袋中有4個紅球，x個黃球，從中任摸一個恰為黃球的概率為，則x的值為　12　．

【考點】X4：概率公式．

【分析】根據黃球的概率為，列出關于x的方程，解方程即可求出x的值．

【解答】解：設袋中有x個黃球，根據題意得

=，

解得x=12．

故答案為：12．

【點評】本題考查隨機事件概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=．

14．如圖，用圓心角為120°，半徑為6cm的扇形紙片卷成一個圓錐形無底紙帽，則這個紙帽的高是　4　cm．

【考點】MP：圓錐的計算．

【分析】先利用弧長公式得到圓心角為120°，半徑為6cm的扇形的弧長=4π，根據圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長，則可計算出圓錐的底面圓的半徑為2，然后根據勾股定理可計算出圓錐的高．

【解答】解：∵圓心角為120°，半徑為6cm的扇形的弧長==4π，

∴圓錐的底面圓的周長為4π，

∴圓錐的底面圓的半徑為2，

∴這個紙帽的高==4（cm）．

故答案為4．

【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了弧長公式和勾股定理．

15．因式分解：3a2﹣6a+3=　3（a﹣1）2?。?/p>

【考點】55：提公因式法與公式法的綜合運用．

【分析】先提取公因式﹣3，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解．

【解答】解：3a2﹣6a+3，

=3（a2﹣2a+1），

=3（a﹣1）2．

【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其它方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．

16．方程﹣=0的解是　x=﹣2　．

【考點】B3：解分式方程．

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：x﹣2﹣2x=0，

解得：x=﹣2，

經檢驗x=﹣2是分式方程的解，

故答案為：x=﹣2

【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．

17．如圖△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE=2AD，AE=2，那么EC=　4　．

【考點】S4：平行線分線段成比例；KJ：等腰三角形的判定與性質．

【分析】由BE平分∠ABC，DE∥BC，易得△BDE是等腰三角形，即可得BD=2AD，又由平行線分線段成比例定理，即可求得答案．

【解答】解：∵DE∥BC，

∴∠DEB=∠CBE，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∴∠ABE=∠DEB，

∴BD=DE，

∵DE=2AD，

∴BD=2AD，

∵DE∥BC，

∴AD：DB=AE：EC，

∴EC=2AE=2×2=4．

故答案為：4．

【點評】此題考查了平行線分線段成比例定理以及等腰三角形的判定與性質．注意掌握線段的對應關系是解此題的關鍵．

18．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以點C為圓心，CB為半徑的⊙C與邊AB交于點D．若點D為AB的中點，AB=6，則⊙C的半徑長為　3?。?/p>

【考點】M2：垂徑定理；KP：直角三角形斜邊上的中線；KQ：勾股定理．

【分析】連接CD，根據直角三角形斜邊上中線性質得出CD=AB，代入求出即可．

【解答】解：如圖，

連接CD，

∵在△ACB中，∠ACB=90°，D為AB的中點，

∴CD=AB=6=3，

∴⊙C的半徑為3，

故答案為：3．

【點評】本題考查了直角三角形斜邊上中線性質的應用，能根據定理得出CD=AB是解此題的關鍵．

三、解答題

19．（2016?長沙模擬）2sin60°+（﹣）﹣1﹣20160﹣|1﹣|

【考點】2C：實數的運算；6E：零指數冪；6F：負整數指數冪；T5：特殊角的三角函數值．

【分析】原式利用特殊角的三角函數值，零指數冪、負整數指數冪法則，以及絕對值的代數意義化簡，計算即可得到結果．

【解答】解：原式=2×﹣2﹣1﹣+1=﹣2．

【點評】此題考查了實數的運算，零指數冪、負整數指數冪，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．

20．（2016?長沙模擬）先化簡，再求值：÷（+x﹣1），其中x是方程x2+x﹣6=0的根．

【考點】6D：分式的化簡求值；A3：一元二次方程的解．

【分析】首先對括號內的式子通分相加，把除法化為乘法，計算乘法即可化簡，然后解方程求得x的值，代入化簡后 的式子求解．

【解答】解：原式=÷

=÷

=÷

=?

=．

解方程x2+x﹣6=0得x1=﹣3，x2=2．

當x=﹣3時，原式==；

當x=2時，原式無意義．

【點評】本題考查分式的化簡求值，以及一元二次方程的解法，注意到分式有意義的條件是關鍵．

21．（2012?西寧）西寧市教育局自實施新課程改革后，學生的自主學習、合作交流能力有很大提高．張老師為了了解所教班級學生自主學習、合作交流的具體情況，對本班部分學生進行了為期半個月的跟蹤調查，將調查結果分成四類，A：特別好；B：好；C：一般；D：較差；并將調查結果繪制成以下不完整的統(tǒng)計圖，請你根據統(tǒng)計圖解答下列問題：

（1）本次調查中，張老師一共調查了　20　名同學；

（2）將上面的條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）為了共同進步，張老師想從被調查的A類和D類學生分別選取一位同學進行“一幫一”互助學習，請用列表法或畫樹形圖的方法列出所有等可能的結果，并求出所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率．

【考點】VC：條形統(tǒng)計圖；VB：扇形統(tǒng)計圖；X6：列表法與樹狀圖法．

【分析】（1）根據A組總人數與所占的百分比進行計算即可得解；

（2）求出C組的總人數，然后減去男生人數即可得到女生人數，求出D組人數所占的百分比，再求出D組的總人數，然后減去女生人數得到男生人數，最后補全統(tǒng)計圖即可；

（3）畫出樹狀圖，根據概率公式求解即可．

【解答】解：（1）（1+2）÷15%=20人；

（2）C組人數為：20×25%=5人，

所以，女生人數為5﹣3=2人，

D組人數為：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）=20×10%=2人，

所以，男生人數為2﹣1=1人，

補全統(tǒng)計圖如圖；

（3）畫樹狀圖如圖：

所有等可能結果：男男、男女、女男、女女、女男、女女，

P（一男一女）==．

【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小．

22．（2016?長沙模擬）如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BD相交于點O，與BC相交于點N，連接BM、DN．

（1）求證：四邊形BMDN是菱形；

（2）若AB=4，AD=8，求菱形BMDN的面積和對角線MN的長．

【考點】LA：菱形的判定與性質．

【分析】（1）根據矩形性質求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，證△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四邊形BMDN，推出菱形BMDN；

（2）根據菱形性質求出DM=BM，在Rt△AMB中，根據勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x2﹣32x+256+64，求出MD，菱形BMDN的面積=MD?AB，即可得出結果；菱形BMDN的面積=兩條對角線長積的一半，即可求出MN的長．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A=90°，

∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，

在△DMO和△BNO中，

，

∴△DMO≌△BNO（ASA），

∴OM=ON，

∵OB=OD，

∴四邊形BMDN是平行四邊形，

∵MN⊥BD，

∴平行四邊形BMDN是菱形．

（2）解：∵四邊形BMDN是菱形，

∴MB=MD，

設MD長為x，則MB=DM=x，

在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2

即x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，

即MD=5．

菱形BMDN的面積=MD?AB=5×4=20，

∵BD==4，

∵菱形BMDN的面積=BD?MN=20，

∴MN=2×=2．

【點評】本題考查了矩形性質，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質，證明四邊形是菱形是解決問題的關鍵．

23．（2016?長沙模擬）某商場購進甲、乙兩種服裝，每件甲種服裝比每件乙種服裝貴25元，該商場用2000元購進甲種服裝，用750元購進乙種服裝，所購進的甲種服裝的件數是所購進的乙種服裝的件數的2倍．

（1）分別求每件甲種服裝和每件乙種服裝的進價；

（2）若每件甲種服裝售價130元，將購進的兩種服裝全部售出后，使得所獲利潤不少于750元，問每件乙種服裝售價至少是多少元？

【考點】B7：分式方程的應用；C9：一元一次不等式的應用．

【分析】（1）設甲品牌服裝每套進價為x元，則乙品牌服裝每套進價為（x﹣25）元，根據購進的甲種服裝的件數是所購進的乙種服裝的件數的2倍，列出方程，求出x的值，即可得出答案；

（2）設每件乙種服裝售價至少是m元，根據甲一件的利潤×總的件數+乙一件的利潤×總的件數≥總利潤，列出不等式，求出m的取值范圍，即可得出答案．

【解答】解：（1）設甲品牌服裝每套進價為x元，則乙品牌服裝每套進價為（x﹣25）元，由題意得：

=×2，

解得：x=100，

經檢驗：x=100是原分式方程的解，

x﹣25=100﹣25=75．

答：甲、乙兩種品牌服裝每套進價分別為100元、75元；

（2）設每件乙種服裝售價至少是m元，根據題意得：

（130﹣100）×+（m﹣75）×≥750，

解得：m≥90．

答：每件乙種服裝售價至少是90元．

【點評】此題考查了分式方程和一元一次不等式的應用，讀懂題意、找到合適的等量關系列出算式是解決問題的關鍵．利用分式方程解應用題時，一般題目中會有兩個相等關系，這時要根據題目所要解決的問題，選擇其中的一個相等關系作為列方程的依據，而另一個則用來設未知數．

24．（2014?鎮(zhèn)江）如圖，⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F，點E是DB延長線上的一點，∠EAB=∠ADB．

（1）求證：EA是⊙O的切線；

（2）已知點B是EF的中點，求證：以A、B、C為頂點的三角形與△AEF相似；

（3）已知AF=4，CF=2．在（2）條件下，求AE的長．

【考點】MD：切線的判定；S9：相似三角形的判定與性質．

【分析】（1）連接CD，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ADC=90°，由角的關系可得出∠EAC=90°，即得出EA是⊙O的切線，

（2）連接BC，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ABC=90°，由在RT△EAF中，B是EF的中點，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA，

（3））由△EAF∽△CBA，可得出=，由比例式可求出AB，由勾股定理得出AE的長．

【解答】（1）證明：如圖1，連接CD，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADB+∠EDC=90°，

∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，

∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，

∴EA是⊙O的切線．

（2）證明：如圖2，連接BC，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC=90°，

∴∠CBA=∠ABC=90°

∵B是EF的中點，

∴在RT△EAF中，AB=BF，

∴∠BAC=∠AFE，

∴△EAF∽△CBA．

（3）解：∵△EAF∽△CBA，

∴=，

∵AF=4，CF=2．

∴AC=6，EF=2AB，

∴=，解得AB=2．

∴EF=4，

∴AE===4，

【點評】本題主要考查了切線的判定和相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是作出輔助線運用三角形相似及切線性質求解．

25．（2016?長沙模擬）對平面直角坐標系中的點P（x，y），定義d=|x|+|y|，我們稱d為P（x，y）的幸福指數．對于函數圖象上任意一點P（x，y），若它的幸福指數d≥1恒成立，則稱此函數為幸福函數，如二次函數y=x2+1就是一個幸福函數，理由如下：設P（x，y）為y=x2+1上任意一點，d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|，∵|x|≥0，|x2+1|=x2+1≥1，∴d≥1．∴y=x2+1是一個幸福函數．

（1）若點P在反比例函數y=的圖象上，且它的幸福指數d=2，請直接寫出所有滿足條件的P點坐標；

（2）一次函數y=﹣x+1是幸福函數嗎？請判斷并說明理由；

（3）若二次函數y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函數，試求出m的取值范圍．

【考點】HF：二次函數綜合題．

【分析】（1）設點P的坐標為（m，），根據幸福指數的定義，即可得出關于m的分式方程，解之經檢驗即可得出結論；

（2）設P（x，y）為y=﹣x+1上的一點，分x＜0、0≤x≤1和x＞1三種情況找出d的取值范圍，由此即可得出一次函數y=﹣x+1是幸福函數；

（3）設P（x，y）為y=x2﹣（2m+1）x+m2+m上的一點，由y=x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m）（x﹣m﹣1）且m＞0，可知分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1四段尋找m的取值范圍，利用配方法以及二次函數的性質結合幸福函數的定義即可求出m的取值范圍，綜上即可得出結論．

【解答】解：（1）設點P的坐標為（m，），

∴d=|m|+||=2，

解得：m1=﹣1，m2=1，

經檢驗，m1=﹣1、m2=1是原分式方程的解，

∴滿足條件的P點坐標為（﹣1，﹣1）或（1，1）．

（2）一次函數y=﹣x+1是幸福函數，理由如下：

設P（x，y）為y=﹣x+1上的一點，d=|x|+|y|=|x|+|﹣x+1|，

當x＜0時，d=|x|+|﹣x+1|=﹣x﹣x+1=1﹣2x＞1；

當0≤x≤1時，d=|x|+|﹣x+1|=x﹣x+1=1；

當x＞1時，d=|x|+|﹣x+1|=x+x﹣1=2x﹣1＞1．

∴對于y=﹣x+1上任意一點P（x，y），它的幸福指數d≥1恒成立，

∴一次函數y=﹣x+1是幸福函數．

（3）設P（x，y）為y=x2﹣（2m+1）x+m2+m上的一點，d=|x|+|y|=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|，

∵y=x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m）（x﹣m﹣1），m＞0，

∴分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1考慮．

①當x≤0時，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=﹣x+x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m﹣1）2﹣m﹣1，

當x=0時，d取最小值，最小值為m2+m，

∴m2+m≥1，

解得：m≥；

②0＜x＜m時，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=x+x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m）2+m﹣1≥1，

∵（x﹣m）2≥0，

∴m﹣1≥1，

解得：m≥2；

③當m≤x≤m+1時，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=x﹣x2+（2m+1）x﹣m2﹣m=﹣（x﹣m﹣1）2+m+1，

當x=m時，d取最小值，最小值為m，

∴m≥1；

④當x＞m+1時，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=x+x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m）2+m﹣1＞m≥1，

∴m≥1．

綜上所述：

∴﹣（m+1）≥1，

解得：若二次函數y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函數，m的取值范圍為m≥2．

【點評】本題考查了二次函數的性質、完全平方公式、因式分解法解一元二次方程以及絕對值，解題的關鍵是：（1）根據幸福指數的定義，找出關于m的分式方程；（2）分x＜0、0≤x≤1和x＞1三種情況找出d的取值范圍；（3）分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1四段考慮．

26．（2016?長沙模擬）如圖，直線y=﹣x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，已知二次函數的圖象經過點A、C和點B（﹣1，0）．

（1）求該二次函數的關系式；

（2）有兩動點D、E同時從點O出發(fā)，其中點D以每秒個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點E以每秒4個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當D、E兩點相遇時，它們都停止運動．設D、E同時從點O出發(fā)t秒時，請問D、E兩點在運動過程中，是否存在DE∥OC，若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下設△ODE的面積為S求S關于t的函數關系式，并直接寫出S的最大值．

【考點】HF：二次函數綜合題．

【分析】（1）先根據直線AC的解析式求出A、C兩點的坐標，然后根據A、B、C三點的坐標用待定系數法即可求出拋物線的解析式．

（2）如果DE∥OC，此時點D，E應分別在線段OA，CA上，先求出這個區(qū)間t的取值范圍，然后根據平行線分線段成比例定理，求出此時t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍．如果符合則這個t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說明不存在這樣的t．

（3）當E在OC上，D在OA上，即當0＜t≤1時，此時S=OE?OD，由此可得出關于S，t的函數關系式；

當E在CA上，D在OA上，即當1＜t≤2時，此時S=OD×E點的縱坐標．由此可得出關于S，t的函數關系式；

當E，D都在CA上時，即當2＜t＜相遇時用的時間，此時S=S△AOE﹣S△AOD，由此可得出S，t的函數關系式；綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內，函數的不同表達式．

【解答】解：（1）令y=0，則x=3，

∴A（3，0），C（0，4），

∵二次函數的圖象過點C（0，4），

∴可設二次函數的關系式為y=ax2+bx+4．

又∵該函數圖象過點A（3，0），B（﹣1，0），

∴，

解得

∴所求二次函數的關系式為y=﹣x2+x+4．

（2）不存在DE∥OC

∵若DE∥OC，則點D，E應分別在線段OA，CA上，此時1＜t＜2，在Rt△AOC中，AC=5．

設點E的坐標為（x1，y1）

∴=，

∴|x1|

∵DE∥OC，

∴=t

∴t=

∵t=＞2，不滿足1＜t＜2．

∴不存在DE∥OC．

（3）根據題意得D，E兩點相遇的時間為=（秒）

現分情況討論如下：

（?。┊?＜t≤1時，S=×t?4t=3t2；

（ⅱ）當1＜t≤2時，設點E的坐標為（x2，y2）

∴=，|y2|=∴

∴S=×t×=﹣t2+t；

（ⅲ）當2＜t＜時，

設點E的坐標為（x3，y3），類似ⅱ可得|y3|=

設點D的坐標為（x4，y4）

∴=，|y4|=

∴S=S△AOE﹣S△AOD

=×3×﹣×3×

=﹣t+．

當0＜t≤1時，S=×t?4t=3t2，函數的最大值是3；

當1＜t≤2時，S=﹣t2+t．函數的最大值是：，

當2＜t＜時，S=﹣t+，0＜S＜，

∴S最大=．

【點評】本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數的應用等知識點，綜合性較強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．