無窮大的性質(zhì)

兩個無窮大量之和不一定是無窮大；有界量與無窮大量的乘積不一定是無窮大（如常數(shù)0就算是有界函數(shù)）；有限個無窮大量之積一定是無窮大。另外，一個數(shù)列不是無窮大量，不代表它就是有界的（如：數(shù)列1，1/2，3，1/3，……）。

無窮大介紹

在集合論中對無窮有不同的定義。德國數(shù)學(xué)家康托爾提出，對應(yīng)于不同無窮集合的元素的個數(shù)（基數(shù)），有不同的“無窮”。

這里比較不同的無窮的“大小”的時候唯一的辦法就是通過是否可以建立“一一對應(yīng)關(guān)系”來判斷，而拋棄了歐幾里得“整體大于部分”的看法。例如整數(shù)集和自然數(shù)集由于可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系，它們就具有相同的無窮基數(shù)。

自然數(shù)集是具有最小基數(shù)的無窮集，它的基數(shù)用希伯來字母阿列夫右下角標(biāo)來表示。

可以證明，任何一個集合的冪集（所有子集所形成的集合）的比原集合大，如果原來的基數(shù)是a，則冪集的基數(shù)記為（2的a次方）。這稱為康托爾定理。

對于兩個無窮集合，可以以能否建立它們之間的雙射，作為比較其大小的標(biāo)準(zhǔn)。

確切地講，我們用基數(shù)的概念來描述集合，對于有限集合而言，可以認(rèn)為它的基數(shù)就是元素的個數(shù)，但對無窮集而言，基數(shù)只能以下面的方式理解（當(dāng)然也可以據(jù)此把無窮集合的基數(shù)說成是它元素的個數(shù)，但這個個數(shù)已經(jīng)不是日常用語中的意思）。

如果集合A與集合B之間存在雙射（一一對應(yīng)），就認(rèn)為它們的基數(shù)一樣大；如果A與B的某個子集有雙射，就認(rèn)為A的基數(shù)不比B更大，也就是A到B有單射，B到A有滿射；當(dāng)A的基數(shù)不比B更大，且A、B基數(shù)不一樣大時，就認(rèn)為A比B基數(shù)小。

在ZFC集合論的框架下，任何集合都是良序的，從而兩個集的基數(shù)總是大于、小于、等于中的一種，不會出現(xiàn)無法比較的情況。但若不包括選擇公理，只有良序集的基數(shù)才能比較。

例如，可數(shù)集合，如自然數(shù)集，整數(shù)集乃至有理數(shù)集對應(yīng)的基數(shù)被定義為“阿列夫零”。比可數(shù)集合“大”的稱之為不可數(shù)集合，如實數(shù)集，其基數(shù)與自然數(shù)的冪集相同，為二的阿列夫零次方，被定義為“阿列夫壹”。

由于一個無窮集合的冪集總是具有比它本身更高的基數(shù)，所以通過構(gòu)造一系列的冪集，可以證明無窮的基數(shù)的個數(shù)是無窮的。然而有趣的是，無窮基數(shù)的個數(shù)比任何基數(shù)都多，從而它是一個比任何無窮大都要大的“無窮大”，它不能對應(yīng)于一個基數(shù)，否則會產(chǎn)生康托爾悖論的一種形式。