逆函數(shù)和反函數(shù)區(qū)別

反函數(shù)和逆函數(shù)是一樣的，反函數(shù)就是逆函數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個(gè)函數(shù)g(y)在每一處g(y)都等于x，這樣的函數(shù)x=g(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作x=f-1(y)。反函數(shù)x=f-1(y)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域。

反函數(shù)存在定理

定理：嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必定有嚴(yán)格單調(diào)的反函數(shù)，并且二者單調(diào)性相同。

在證明這個(gè)定理之前先介紹函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性。

設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閒(D)。如果對(duì)D中任意兩點(diǎn)x1和x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，有y1<y2，則稱y=f(x)在D上嚴(yán)格單調(diào)遞增；當(dāng)x1<x2時(shí)，有y1>y2，則稱y=f(x)在D上嚴(yán)格單調(diào)遞減。

證明：設(shè)f在D上嚴(yán)格單增，對(duì)任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由于f的嚴(yán)格單增性，對(duì)D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。總之能使f(x)=y的x只有一個(gè)，根據(jù)反函數(shù)的定義，f存在反函數(shù)f-1。

任取f(D)中的兩點(diǎn)y1和y2，設(shè)y1<y2。因?yàn)閒存在反函數(shù)f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。

若此時(shí)x1≥x2，根據(jù)f的嚴(yán)格單增性，有y1≥y2，這和我們假設(shè)的y1<y2矛盾。

因此x1<x2，即當(dāng)y1<y2時(shí)，有f-1(y1)<f-1(y2)。這就證明了反函數(shù)f-1也是嚴(yán)格單增的。

如果f在D上嚴(yán)格單減，證明類似。