垂直平分線的性質(zhì)和判定方法

經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，接下來(lái)分享垂直平分線的性質(zhì)和判定方法。

垂直平分線的性質(zhì)

(1)垂直平分線垂直且平分其所在線段。

(2)垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等。

(3)三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

(4)垂直平分線的判定：必須同時(shí)滿足①直線過(guò)線段中點(diǎn)；②直線⊥線段。

垂直平分線判定方法

(1)利用定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線是線段的垂直平分線

(2)到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.(即線段垂直平分線可以看成到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合)。

垂直平分線的逆定理

逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

如圖1，已知N是AB中點(diǎn)，MN是AB的垂直平分線，平面上一點(diǎn)P滿足PA=PB，證明：P在MN上。

解：∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，∴AN=BN

∵PA=PB ，PN=PN，∴△PAN≌△PBN，∴∠PNA=∠PNB

∵∠PNA+∠PNB=180°，∴∠PNA=∠PNB=90°

由于過(guò)平面上一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知垂線垂直，故P在MN上。

該逆定理得證。